Олимпиадные задачи по математике
Около остроугольного треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром <i>O</i>. Перпендикуляры, опущенные из точки <i>O</i> на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках <i>K</i>, <i>M</i> и <i>P</i>. Докажите, что <img src="/storage/problem-media/108605/problem_108605_img_2.gif"> где <i>Q</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", <i>k</i>-е слово получается из (<i>k</i>–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.
Муравей ползает по замкнутому маршруту по рёбрам додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут проходит ровно два раза по каждому ребру.
Докажите, что некоторое ребро муравей оба раза проходит в одном и том же направлении.