Олимпиадная задача по теории чисел для 9–11 классов: последовательность с делимостью
Задача
Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого k = 1, 2, 3, ... сумма первых k членов последовательности делится на k?
Решение
Укажем способ построения такой последовательности. В качестве первого члена a1 можно взять число 1. Пусть удалось подобрать n первых членов a1, a2, an, и пусть m – наименьшее число из не вошедших в них, а M – наибольшее из вошедших. Обозначим через Sk сумму первых k членов. Пусть теперь an+1 = m((n + 2)t – 1) – Sn,  an+2 = m, где натуральное t выбрано настолько большим, что an+1 > M. Легко видеть, что Sn+1 = Sn + an+1 = m((n + 2)t – 1) делится на (n + 2) – 1 = n + 1, а сумма Sn+2 = m(n + 2)t делится на n + 2. Продолжая таким образом, мы включим все натуральные числа и при том ровно по одному разу в нашу последовательность.
Ответ
Существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь