Задачи и олимпиады по математике

Задача

Доказать, что последовательностьx_n= sin(n²) не стремится к нулю приn, стремящемся к бесконечности.

Решение

Воспользуемся следующим тригонометрическим неравенством:

|sin(α − β)| ≤ |sinα| + |sinβ|.

Пусть sin(k²)$\rightarrow$0. Выберем ε <${\frac{1}{8}}$|sin 2| и такоеN, что |sin(n²)| < ε при любомn>N. Используя приведенное выше тригонометрическое неравенство дважды, получаем:

|sin((n + 1)² − n²)| = |sin(2n + 1)| ≤ |sin(n + 1)²| + |sin(n²)| < 2ε,

|sin((2n + 3) − (2n + 1))| = |sin(2)| ≤ |sin(2n + 3)| + |sin(2n + 1)| < 2ε + 2ε = 4ε,

откуда следует противоречивое неравенство:

|sin 2| < 4ε < 4^.$\displaystyle {\frac{\vert\sin2\vert}{8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$|sin 2|.

(Решение из книги [Гальперин, Толпыго]).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления