Обозначим через M₀ исходный квадрат, M₁ , M₂ , M₃ , ... – многоугольники, получаемые из M₀ последовательным отрезанием уголков. Удобно рассмотреть также многоугольник N_k , вершинами которого служат середины сторон M_k ( k=0, 1, 2, ... )

Пусть A – произвольная вершина многоугольника M_k – а B и C – соседние с ней вершины. Чтобы получить из многоугольника M_k многоугольник M_k+1, нужно от каждой вершины A многоугольника M_k отрезать треугольник B₂ AC₂ (см.рис.8) такой, что точки B₂ и ₂ делит, соответственно, отрезки [AB] и [AC] в отношении 1:2. Пусть B₁ и C₁ – середины отрезков [AB] и [AC], т.е. соседние вершины многоугольника N_k ; тогда

При переходе от многоугольника N_k к многоугольнику N_k+1 точки B₁ и C₁ остаются его вершинами, по уже не соседними: между ними появляется новая вершина A₁ – середина отрезка [B₂ C₂]. Таким образом, многоугольник N_k+1 получается из многоугольника N_k добавлением к каждой его стороне [B₁ C₁] треугольника типа B₁ A₁ C₁ .

Из(eq:234.1) следует, что площади отрезаемых и добавляемых треугольников связаны такими соотношениями:

Пусть x_k – площадь многоугольника N_k , y_k – площадь M_k . Просуммировав(eq:234.2) и(eq:234.3) по всем вершинам A многоугольника M_k , получим:

отсюда

и

Отметим точки x₀ , x₁ , x₂ , ... и y₀ , y₁ , y₂ , ... на числовой оси (рис.9 и10). Из соотношения(eq:234.6) следует, что длина отрезка [x_k+1,y_k+1] в 4 раза меньше длины отрезка [x_k,y_k]. Рассмотрим точку a , делящую отрезок [x_k,y_k] в отношении 3:4; тогда

Учитывая(eq:234.7) и(eq:234.8), получим, что

значит, точка a делит и том же отношении 3:4 и отрезок

[x_k+1,y_k+1].

Возьмем самый первый отрезок нашей последовательности: [x₀,y₀]=[ ,1]; в отношении 3:4 его делит точка a , такая, что = , т.е.

В силу сказанного, эта точка делит в отношении 3:4 все отрезки [x_k,y_k] ( k=0, 1, 2, ... ); значит, каждый следующий отрезок последовательности [x_k,y_k] получается из предыдущего сжатием к точке a в 4 раза. Таким образом, точка a является единственной общей точкой всех этих отрезков. (Можно выписать и точные формулы для x_k и y_k : x_k= -()^k , y_k=+ ()^k ; но нам они понадобятся. Читатели, знакомые с понятием предела последовательности, конечно, заметили, что a является общим пределом последовательностей x_k и y_k ; по существу мы именно это и доказали.) Отсюда уже следует, что площадь искомой фигуры M (являющейся пересечением всех многоугольников M_k ) равна a ; действительно, M содержится в любом M_k и содержит любой N_k (докажите (Это чисто теоретико-множественный факт: если M_k M_k+1 N_k+1 N_k для каждого k=0, 1, 2, ... , и M=_k M_k , то M N_k .) !); следовательно, площадь M должна быть заключена между x_k и y_k (при всех k ), а этому требованию удовлетворяет единственное число: a= .

Можно было бы решать эту задачу и не вводя многоугольников N_k , используя лишь соотношение, определяющее последовательность y₀=1, y₁= , y₂ , y₃ , ... :

y_k-y_k+1= (y_k-y_k-1).

При этом площадь M находится как предел площадей M_k (последовательность(y_k-y_k+1)представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию).

А.Зеленский (г.Шахтерск) обобщил задачу M234 на тот случай, когда от каждой стороны отсекаются отрезки, составляющие этой стороны, где p – любое число, большее 2. Площадь получающейся в таком случае фигуры равна ; при p=3 получаем ответ .

Ответ задачи отсутствует