Олимпиадная задача Шаповалова А. В. о числовой последовательности и многочленах для 9-10 классов
Задача
Последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, ... такова, что для каждого n уравнение an+2x² + an+1x + an = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?
Решение
а) Вот пример последовательности из 10 членов: 1, 210, 218, 224, 226, 226, 224, 218, 210, 1. Здесь для каждой тройки чисел an, an+1, an+2 выполнено условие 
которого достаточно для существования действительного корня уравнения an+2x² + an+1x + an = 0. б) Для такой последовательности при каждом натуральном n 
, то есть 
. Следовательно, 
Поэтому an+1 < an при "больших" n, то есть последовательность убывает. Противоречие: последовательность из натуральных чисел бесконечно убывать не может.
Ответ
а) Может; б) не может.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь