Назад

Олимпиадная задача: бесконечная арифметическая прогрессия в числовой последовательности (Мурашкин М. В., 9–11 класс)

Задача 211805 • Сложность: 3 • 9-11 класс
Задача

Последовательность(an)задана условиями a1= 1000000, an+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Решение

Заметим, что числа kn==[an n]+1– натуральные, причем

kn+1=[an+1 n+1]+1=[]+1 =kn+[-]+1 kn-1+1=kn.

Значит, последовательность kn невозрастающая, и все ее члены– натуральные числа. Тогда, начиная с некоторого момента, она постоянна, т.е. kn=kn+1=kn+2=..=k . Это значит, что при d n выполняется равенство ad+2-ad+1=(d+1)kd+1-dkd=(d+1)k-dk=k , то есть вся подпоследовательность an+1,an+2,an+3,.. является арифметической прогрессией с разностью k .

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет