Задача
При каком значенииKвеличинаAk=${\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$максимальна?
Решение
Ответ:При k= 65.
Обозначим Bk=${\dfrac{19^k}{k!}}$,Ck=${\dfrac{66^k}{k!}}$. Тогда Ak=Bk+Ck,${\dfrac{B_{k+1}}{B_k}}$=${\dfrac{19}{k+1}}$,${\dfrac{C_{k+1}}{C_k}}$=${\dfrac{66}{k+1}}$. Следовательно, при k$\le$19 обе последовательности не убывают, а при k$\ge$65 обе последовательности не возрастают, т. е. максимальное значение достигается при некотором k$\in$[19, 65]. Заметим, что приk$\in$[19, 64] выполняются неравенства ${\frac{C_{k+1}}{C_k}}$$\ge$${\frac{66}{65}}$и ${\frac{B_k}{C_k}}$=$\left(\vphantom{ \frac{19}{66} }\right.$${\frac{19}{66}}$$\left.\vphantom{ \frac{19}{66} }\right)^{k}{}$<$\left(\vphantom{ \frac{1}{3} }\right.$${\frac{1}{3}}$$\left.\vphantom{ \frac{1}{3} }\right)^{19}{}$<${\frac{1}{65}}$. Следовательно,
| Ak + 1 - Ak = Ck + 1 - Ck + Bk + 1 - Bk$\displaystyle \ge$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{65}}$Ck - Bk > 0, |
т. е. при k$\in$[19, 65] последовательность Akвозрастает. Следовательно, величина Akмаксимальна при k= 65.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь