Олимпиадные задачи по теме «Тригонометрия» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Тригонометрия
НазадНайдите наибольшее значение выражения <i>х + у</i>, если <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116997/problem_116997_img_2.gif"> <i>x</i> ∈ [0, <sup>3π</sup>/<sub>2</sub>], <i>y</i> ∈ [π, 2π].
Известно, что tg α + tg β = <i>p</i>, ctg α + ctg β = <i>q</i>. Найдите tg(α + β).
Сравните: sin 3 и sin 3°.
Найдите наименьшее положительное значение <i>x</i> + <i>y</i>, если (1 + tg <i>x</i>)(1 + tg <i>y</i>) = 2.
Дан выпуклый пятиугольник. Петя выписал в тетрадь значения синусов всех его углов, а Вася – значения косинусов всех его углов. Оказалось, что среди выписанных Петей чисел нет четырёх различных. Могут ли все числа, выписанные Васей, оказаться различными?
При каких значениях <i>c</i> числа sin α и cos α являются корнями квадратного уравнения 5<i>x</i>² – 3<i>x + c</i> = 0 (α – некоторый угол)?
Углы треугольника<i> α, β, γ </i>удовлетворяют неравенствам<i> sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α </i>. Докажите, что треугольник остроугольный.
Найдите все пары чисел<i> x,y<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_2.gif"> </i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/110173/problem_110173_img_3.gif"></i>), удовлетворяющие равенству<i> sin x+ sin y= sin</i>(<i>xy</i>).
Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна <sup>π</sup>/<sub>2</sub>. Докажите, что cos <i>a</i> + cos <i>b</i> + cos <i>c</i> > sin <i>a</i> + sin <i>b</i> + sin <i>c</i>.
Что больше: <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_2.gif"> или <img align="middle" src="/storage/problem-media/109435/problem_109435_img_3.gif"> ?
Найти все действительные решения уравнения<i> x<sup>2</sup>+</i>2<i>x sin xy+</i>1<i>=</i>0.
Найти все решения системы уравнений <center><i>
<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_2.gif">
</i></center> удовлетворяющие условиям0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> x<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π,;; </i>0<i><img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif"> y<img src="/storage/problem-media/109161/problem_109161_img_3.gif">π </i>.
Доказать, что <center><i>
A= sin<sup>2</sup></i>(<i>α+β</i>)<i>+ sin<sup>2</sup></i>(<i>β-α</i>)<i>-</i>2<i> sin</i>(<i>α+β</i>)<i> sin</i>(<i>β-α</i>)<i> cos </i>2<i>α
</i></center> не зависит от<i> β </i>.
Решить уравнение<i> 2-log<sub> sin x</sub> cos x=log<sub> cos x</sub> sin x. </i>
Известно, что<i>tg</i> $\alpha$+<i>tg</i> $\beta$=<i>p</i>,<i>ctg</i> $\alpha$+<i>ctg</i> $\beta$=<i>q</i>. Найти <i>tg</i> ($\alpha$+$\beta$).
Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать а) sin <sup>α</sup>/<sub>2</sub>, б) sin <sup>α</sup>/<sub>3</sub>?
Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии <i>a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,..., a<sub>5</sub></i>, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos <i>a<sub>1</sub></i>, cos <i>a<sub>2</sub></i>, cos <i>a<sub>3</sub></i>, а также числа sin <i>a<sub>3</sub></i>, sin <i>a<sub>4</sub></i> и sin <i>a<sub>5</sub></i> в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.
Сумма трёх положительных углов равна 90<sup><tt>o</tt></sup>. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?
Решите систему уравнений:
<i>x</i>² + 4sin²<i>y</i> – 4 = 0,
cos <i>x</i> – 2cos²<i>y</i> – 1 = 0.
Укажите все выпуклые четырехугольники, у которых суммы синусов противолежащих углов равны.
Пусть <i>x, y, z</i> – любые числа из интервала (0, <sup>π</sup>/<sub>2</sub>). Докажите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98588/problem_98588_img_2.gif">
Найдите наибольшее значение выражения<div align="CENTER"> <i>x</i>$\displaystyle \sqrt{1-y^2}$ + <i>y</i>$\displaystyle \sqrt{1-x^2}$. </div>
Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенствоsin 1 < log<sub>3</sub>$\sqrt{7}$.
На доске после занятия осталась запись:
"Вычислить <i>t</i>(0) − <i>t</i>(<sup>π</sup>/<sub>5</sub>) + <i>t</i>(<sup>2π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>3π</sup>/<sub>5</sub>) + ... + <i>t</i>(<sup>8π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>9π</sup>/<sub>5</sub>), где <i>t</i>(<i>x</i>) = cos5<i>x</i> + *cos4<i>x</i> + *cos3<i>x</i> + *cos2<i>x</i> + *cos<i>x</i> + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вм...
Найти все действительные решения уравнения <i>x</i>² + 2<i>x</i> sin(<i>xy</i>) + 1 = 0.