Олимпиадная задача по тригонометрии и многочленам для 10-11 класса: максимум значений синуса

  а) Покажем сначала, что  sin ^α/₂  не может принимать больше четырёх значений. Действительно, если  sin α = sin β,  то  β = α + 2πk  либо

β = π – α + 2πk  (k – целое число). Соответственно  ^β/₂ = ^α/₂ + πk  либо  ^β/₂ = ^(π–α)/₂ + πk.  Этим значениям на единичной окружности соответствуют точки  ^α/₂,  ^α/₂ + π,  ^π/₂ – ^α/₂,  ^3π/₂ – ^α/₂  и только они. Некоторые из этих точек могут совпадать, но в любом случае точек не более четырёх.

  Осталось привести пример, когда значения синуса в этих четырёх точках попарно различны. Пусть, например,  sin α = ,  тогда указанные точки – это ^π/₆, ^π/₃, ^7π/₆, ^4π/₃. Синус принимает в этих точках следующие значения:  ½, , – ½, – .   б) Если  sin α = 0,  то  α = kπ  (k – целое). Значит,  sin α  может равняться  sin 0 = 0,  sin ^π/₃ =   и  sin ^4π/₃ = – .

  Покажем, что  sin ^α/₃  не может принимать больше трёх значений. Пусть  sin = t.  Тогда  sin α = – 4t³ + 3t.

  Осталось заметить, что многочлен третьей степени имеет не более трёх корней.

Ответ задачи отсутствует