Задача
На доске после занятия осталась запись:
"Вычислить t(0) − t(π/5) + t(2π/5) − t(3π/5) + ... + t(8π/5) − t(9π/5), где t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?
Решение
Пусть tk(x) = cos kx для k = 0, 1, 2, 3, 4. Если рассмотреть аналогичную сумму для t5 вместо t, то в результате получим 10. Проверим, что для всех остальных tk суммы равны 0. Для k = 0 это очевидно. А для k = 1, 2, 3, 4 приходим к одному и тому же равенству
cos 0 + cos(2π/5) + cos(4π/5) cos(6π/5) + cos(8π/5) = cos(π/5) + cos(3π/5) + cos(5π/5) + cos(7π/5) + cos(9π/5). Выражение как в правой части, так и в левой части равно 0. Это следует из того, что сумма векторов, идущих из центра правильного пятиугольника в его вершины, равна 0 (см. задачу 155373 а или задачу 185241).
Ответ
Не ошибается; сумма равна 10.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь