Олимпиадная задача по тригонометрии и планиметрии: сумма косинусов углов

Пусть $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90^o, все они меньше 90^o. Следовательно,cos$\gamma$= cos(90^o-$\alpha$-$\beta$) = sin($\alpha$+$\beta$) = sin$\alpha$cos$\beta$+ cos$\alpha$sin$\beta$< cos$\beta$+ cos$\alpha$, а значит cos$\gamma$$\neq$cos$\alpha$+ cos$\beta$. Другое решение. Пусть $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ -- углы, удовлетворяющие условию задачи, и cos$\alpha$+cos$\beta$=cos$\gamma$. Это равносильно выполнению равенства:

sin(90^o-$\alpha$)+sin(90^o-$\beta$)=sin(90^o-$\gamma$).

Заметим, что углы (90^o-$\alpha$),

(90^o-$\beta$) и (90^o-$\gamma$) также положительные (иначе какой-нибудь из углов $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ должен быть не меньше 90^o, что противоречит условию), а их сумма равна 180^o. Следовательно, существует треугольник с такими углами. Умножим обе части полученного равенства на 2R, где R -- радиус окружности, описанной около треугольника. Тогда для сторон треугольника выполняется равенство а+b=c, что невозможно.

Нет.