Задачи Подборки Авторы

Олимпиадная задача по тригонометрии: неравенства и остроугольный треугольник

Задача 215353 • Сложность: 2 • 9-11 класс

Задача

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

Решение

Предположим противное; пусть для определённости γ 90^o . Тогда α + β 90^o , и углы α и β острые. Поэтому0 < β 90^o - α < 90^o , откуда cos(β) cos(90^o - α) = sin(α), что противоречит условию.