Олимпиадная задача: Разность возрастающей арифметической прогрессии с косинусами и синусами (Последовательности, Тригонометрия, 9-11 класс)

Для искомой разности$\delta$возрастающей прогрессии

получаем$\delta$$\in$(0;$\pi$/2) и cos$\delta$$\ne$1. Рассмотрим следующие два случая, один из которых непременно имеет место. $\bullet$ $\alpha_{3}^{}$$\le$$\pi$, тогда 0$\le$$\alpha_{1}^{}$ < $\alpha_{2}^{}$ < $\alpha_{3}^{}$$\le$$\pi$ и cos$\alpha_{1}^{}$ > cos$\alpha_{2}^{}$ > cos$\alpha_{3}^{}$, откуда 2 cos$\alpha_{2}^{}$ = cos$\alpha_{1}^{}$ + cos$\alpha_{3}^{}$ = 2 cos${\frac{\alpha _3+\alpha _1}{2}}$cos${\frac{\alpha _3-\alpha _1}{2}}$ = 2 cos$\alpha_{2}^{}$cos$\delta$, поэтому cos$\alpha_{2}^{}$ = 0 и  $\alpha_{2}^{}$ = $\pi$/2 (а значит, $\alpha_{3}^{}$$\ge$$\pi$/2, т.е. имеет место также и 2-й случай).

$\bullet$ $\alpha_{3}^{}$$\ge$$\pi$/2, тогда $\pi$/2$\le$$\alpha_{3}^{}$ < $\alpha_{4}^{}$ < $\alpha_{5}^{}$$\le$3$\pi$/2 и  sin$\alpha_{3}^{}$ > sin$\alpha_{4}^{}$ > sin$\alpha_{5}^{}$, откуда

2 sin$\alpha_{4}^{}$ = sin$\alpha_{3}^{}$ + sin$\alpha_{5}^{}$ = 2 sin${\frac{\alpha 3+\alpha 5}{2}}$cos${\frac{\alpha 3-\alpha 5}{2}}$ = 2 sin$\alpha{4}^{}$cos$\delta$, поэтому sin$\alpha{4}^{}$ = 0 и  $\alpha{4}^{}$ = $\pi$ (а значит, $\alpha{3}^{}$$\le$$\pi$, т.е. имеет место также и 1-й случай).

Таким образом, оба случая имеют место, поэтому $\alpha_{2}^{}$ = $\pi$/2 и  $\alpha_{4}^{}$ = $\pi$, откуда $\delta$ = $\pi$/4.

 $\pi$/4.