Математическая задача: Выпуклые четырехугольники с равными суммами синусов углов

Рассмотрим четырехугольник АВСD (см. рисунок). Проведем диагональ ВD и введем обозначения:АВD = a;CBD = b;ADB = g;CDB = d. ТогдаBАD = 180° - (a + g),BCD = 180° - (b + d).

Тогда по условию sin(a + g) + sin(b + d) = sin(a + b) + sin(g + d). Применяя формулу преобразования суммы синусов в произведение, получаем: 2 sin(a+b+g+d)/2 * cos(a-b+g-d)/2 = 2 sin(a+b+g+d)/2 * cos(a+b-g-d)/2. Разделив обе части равенства на выражение, отличное от нуля, получим: cos(a-b+g-d)/2 = cos(a+b-g-d)/2. Тогда по формуле разности косинусов -2 sin(a-d)/2 sin(g-b)/2 = 0. Следовательно, a = d или b = g, а это означает, что хотя бы две стороны данного четырехугольника параллельны.

Параллелограмм или трапеция.