Олимпиадные задачи по теме «Показательные функции и логарифмы» для 10 класса

Найдите такое значение $a > 1$,  при котором уравнение  $a^x = \log_a x$  имеет единственное решение.

Найдите все положительные корни уравнения  <i>x^x + x</i>^1–<i>x</i> = <i>x</i> + 1.

Докажите, что если1<i><a<b<c </i>, то <center><i>

log _a</i>(<i>log _a b</i>)<i>+log _b </i>(<i>log _b c</i>)<i>+log _c</i>(<i>log _ca</i>)<i>></i>0<i>. </i></center>

Обозначим через <i>S</i>(<i>m</i>) сумму цифр натурального числа <i>m</i>. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных <i>n</i>, что  <i>S</i>(3<i>ⁿ</i>) ≥ <i>S</i>(3^<i>n</i>+1).

Докажите, что для всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_2.gif"></i>(0<i>;<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_3.gif"></i>)при<i> n>m </i>, где<i> n,m </i>– натуральные, справедливо неравенство <center>2<i>| sinⁿ x- cosⁿ x|<img src="/storage/problem-media/109754/problem_109754_img_4.gif"> </i>3<i>| sin^m x- cos^m x|; </i></center>

Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до<i> n </i>(<i> n></i>1), одинаково читаться слева направо и справа налево?

Значение <i>a</i> подобрано так, что число корней первого из уравнений  4^<i>x</i> – 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i>,  4^<i>x</i> + 4^–<i>x</i> = 2 cos <i>ax</i> + 4  равно 2007.

Сколько корней при том же <i>a</i> имеет второе уравнение?

Функция<i> f </i>такова, что для любых положительных<i> x </i>и<i> y </i>выполняется равенство<i> f</i>(<i>xy</i>)<i> = f</i>(<i>x</i>)<i> + f</i>(<i>y</i>). Найдите<i> f</i>(2007), если<i> f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109438/problem_109438_img_2.gif"></i>)<i> = </i>1.

Что больше: log₃4 или log₄5?

Доказать, что если <center><i>

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,

</i></center> то<i> x^yy^x=z^yy^z=x^zz^x </i>.

Решить уравнение<i> 2-log_{sin x} cos x=log_{cos x} sin x. </i>

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...

Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Докажите, что первые цифры чисел вида 2^2ⁿ образуют непериодическую последовательность.

Рассматривается последовательность, <i>n</i>-й член которой есть первая цифра числа 2^<i>n</i>.

Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

Функция  <i>f</i>(<i>x</i>) на отрезке [<i>a, b</i>] равна максимуму из нескольких функций вида <i>y = C</i>·10^{–|<i>x–d</i>|} (с различными <i>d</i> и <i>C</i>, причём все <i>C</i> положительны). Дано, что

<i>f</i>(<i>a</i>) = <i>f</i>(<i>b</i>). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Докажите для каждого натурального числа  <i>n</i> > 1  равенство:   [<i>n</i>^1/2] + [<i>n</i>^1/3] + ... + [<i>n</i>^1/<i>n</i>] = [log_₂<i>n</i>] + [log_₃<i>n</i>] + ... + [log<i>_nn</i>].

Расположите в порядке возрастания числа: 222²; 22²²; 2²²²; 22^2²; 2^22²; 2^2²²; 2^{2^2²}. Ответ обоснуйте.

Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2^x?

Решите уравнение<i>x</i>^x⁴= 4 (<i>x</i>> 0).

Не используя калькуляторов, таблиц и т.п., докажите неравенствоsin 1 < log₃$\sqrt{7}$.

Какое из двух чисел больше:   а)   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_2.gif">   (<i>n</i> двоек) или   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> − 1  тройка);   б)   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif">   (<i>n</i> троек) или   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_4.gif">   (<i>n</i> − 1  четвёрка).

Решить в положительных числах систему:<div align="CENTER"> $\displaystyle \left{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl} x^y&=&z,\ y^z&=&x,\ z^x&=&y. \end{array}$ </div>

Даны три параллельные прямые на равных расстояниях друг от друга. Как надо изображать точками соответствующих прямых величины сопротивления, напряжения и силы тока в проводнике, чтобы, прикладывая линейку к точкам, изображающим значения сопротивления<i>R</i>и значения силы тока<i>I</i>, получить на шкале напряжения точку, изображающую величину напряжения<i>V</i>=<i>I</i>^.<i>R</i>(точка каждой шкалы изображает одно и только одно число).

Докажите, что числа вида 2ⁿпри различных целых положительных<i>n</i>могут начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.

Доказать без помощи таблиц, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{\log_2\pi}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{\log_5\pi}}$ > 2. </div>