Олимпиадная задача Дольникова: Сумма цифр степени тройки — доказательство для 10–11 класса

Пусть таких чисел конечное число, тогда для всех n, начиная с некоторого N,  S(3ⁿ) < S(3ⁿ⁺¹).  Но 3ⁿ, 3ⁿ⁺¹ делятся на 9, поэтому  S(3ⁿ)  и  S(3ⁿ⁺¹)  делятся на 9, значит,  S(3ⁿ) ≤ S(3ⁿ⁺¹) – 9.  Тогда  S(3^N+k) ≥ S(3^N) + 9k > 9k, следовательно, число 3^N+k имеет более k знаков: 3^N+k > 10^k.  Отсюда, при  k = N  получаем

3^2N > 10^N.  Противоречие.

Ответ задачи отсутствует