Олимпиадная задача по математике от Сендерова В. А.: доказательство неравенства с показателями для 10-11 класса

Первое решение. Достаточно доказать это неравенство при0 (при x= оно очевидно, при получается заменой y=-x ). При k2имеем cos^kx- sin^kx=( cos^kx- sin^kx)( sin²x+ cos²x)= = ( cos^k+2x- sin^k+2x)+ sin²x cos²x( cos^k-2x- sin^k-2x) cos^k+2x- sin^k+2x.

Поэтому неравенство сводится к случаю n=m+1, за исключением n=3. Кроме того, 1ex

при n k>1. Действительно, приведя к общему знаменателю, получаем неравенство

sin^k-1x cos^k-1x( cos^n-kx- sin^n-kx)( cos x- sin x)0,

которое очевидно. Поэтому неравенство сводится к случаям n=3, m=1и n=2, m=1. Докажем их:

cos3x- sin3x=( cos x- sin x)(1+ sin x cos x) ( cos x- sin x),

поскольку cos x sin x= sin2x ;

cos²x- sin²x=( cos x- sin x)( cos x+ sin x) ( cos x- sin x),

ибо sin x+ cos x=, sin(x+) . Второе решение. Опять же, неравенство достаточно доказать для0<x< . Рассмотрим f(y)= cos^yx- sin^yx , где0<x< , y0. Имеем: f(0)=0, f(y)>0при y>0, f(y)0при y . Далее,

f'(y)= cos^yxln cos x- sin^yln sin x= cos^yx(ln cos x- tg^yxln sin x),

поэтому f'(y)имеет единственный корень при y>0, так как функция g(y)= tg^yx монотонна. Из f(2)=f(2)( cos²x+ sin²x)=f(4)следует, что f'(2)>0, f'(4)<0. Отсюда, при n>m3получаем неравенство

| sinⁿx- cosⁿx|| sin^mx- cos^mx|.

Если же m2, то из соотношений f(1) f(2) f(3) f(n)при n>3видно, что достаточно доказать неравенство3f(1) 2f(3), которое следует из sin x cos x= , поскольку f(3)=f(1)(1+ sin x cos x)f(1).

Ответ задачи отсутствует