Олимпиадная задача по показательной функции и логарифмам для 8-10 классов

Данные равенства можно переписать в виде следующих трёх:

(x(y+z-x))/ x=(y(z+x-y))/ y,

(y(x+z-y))/ y=(z(x+y-z))/ z,

(z(x+y-z))/ z=(x(y+z-x))/ x

или в виде

x y/y x=(z+x-y)/(y+z-x), (1)

y z/z y=(x+y-z)/(x+z-y), (2)

x z/z x=(x+y-z)/(y+z-x). (3)

Перепишем равенства (1) и (3) в виде

y^x/ x^y=(z+x-y)/(y+z-x) и frac z^x x^z=(x+y-z)/(y+z-x)

и применим к обоим равенствам производную пропорцию: если a/b=c/d , то (a+b)/b=(c+d)/d . Получим

( y^x+ x^y)/ x^y=2z/(y+z-x), ( z^x+ x^z)/ x^z=2y/(y+z-x)

или

y^xx^y=2z x^y/(y+z-x), z^xx^z=2y x^z/(y+z-x).

Замечаем, что правые части этих равенств равны между собой, следовательно, равны и левые, т. е. y^xx^y= z^xx^z , а значит, получили равенство y^xx^y=z^xx^z .

Аналогично из равенств (2) и (3) найдём, что y^zz^y=x^zz^x .

Объединяя два полученных равенства, получим утверждение задачи.

Ответ задачи отсутствует