Задача
Решить в положительных числах систему:
$\displaystyle \left{\vphantom{
\begin{array}{rcl}
x^y&=&z,\
y^z&=&x,\
z^x&=&y.
\end{array}
}\right.$$\displaystyle \begin{array}{rcl}
x^y&=&z,\
y^z&=&x,\
z^x&=&y.
\end{array}$
Решение
Заметим сначала, что если одна из неизвестных равна единице, то остальные тоже равны единице. Действительно, пусть x= 1. Тогда z= 1y= 1,y=zx= 11= 1.
Предположим, что существует ещё какое-нибудь решение кроме (1, 1, 1).
Пусть сначала x> 1. Тогда z=xy> 1,y=zx> 1. Следовательно,z=xy>x1=x,y=zx>z1=z,x=yz>y1=y, что невозможно. Значит, этот случай невозможен.
Случай x< 1 получается из случая x> 1 заменой всех знаков > '' на знаки <''.
Ответ
x=y=z= 1.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет