Олимпиадная задача по математике: докажите равенство длин участков возрастания и убывания показательной функции (10–11 класс)
Задача
Функция f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.
Решение
Участки возрастания и убывания функции f(x) совпадают с участками возрастания и убывания функции 
где функции gi(x) имеют вид bi – |x – di|.
Рассмотрим какой-то участок [u, v] возрастания функции g, на котором она совпадает с одной из функций gi. Ясно, что длина этого участка равна
g(v) – g(u), то есть возрастанию на нём значения функции g. Аналогична ситуация с участками убывания.
Таким образом, разность указанных в условии сумм длин равна изменению значения функции g на отрезке [a, b], а оно по условию равно нулю.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь