Олимпиадная задача Алексеев В.Б.: количество корней показательного уравнения с параметром (10-11 класс)

  Преобразуем второе уравнение: 4^x+ 4^–x= 2 cosax+ 4   ⇔   4^x– 2 + 4^–x= 2(1 + cosax) ⇔ (2^x– 2^–x)²= 4cos^{2 ax}/₂)   ⇔   Оба уравнения этой совокупности сводятся к первому уравнению из условия задачи заменами  x= 2y  и  x= – 2z  соответственно. Поэтому каждое из этих двух уравнений имеет 2007 корней. Если эти уравнения имеют общий корень  x = x₀,  то  4^x₀/2– 4^–x₀/2= 0  и  cos^ax₀/₂= 0,  что невозможно. Следовательно, эти уравнения не имеют общих корней, а второе уравнение из условия имеет  2·2007 = 4014  корней.