Олимпиадные задачи по теме «Корни. Степень с рациональным показателем» для 11 класса
Корни. Степень с рациональным показателем
НазадИзобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .
Решите уравнение: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.
Решите неравенство: <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">
Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif"> целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?
Решите систему уравнений (<i>n</i> > 2) <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif"> <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif"> <i>x</i><sub>1</sub> – <i>x</i><sub>2</sub> = 1.
Каких точных квадратов, не превосходящих 10<sup>20</sup>, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?
Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.
Докажите, что  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.
Докажите, что если <center><i> <img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_4.gif">=<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_5.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_6.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_7.gif">=
<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_8.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_9.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_10.gif">
<...
Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=<img src="/storage/problem-media/109863/problem_109863_img_2.gif"> </i>. Найдите<i>f</i>(<i>.. f</i>(<i>f</i>(19))<i>..</i>)<i></i>95<i> раз</i>.
Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что <i>m + n = p + q</i> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">
Докажите, что для любого натурального числа <i>n</i> > 10000 найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что
0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .
Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.
Докажите, что для любого натурального <i>n</i> > 2 число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif"> делится на 8.
Доказать, что для любого целого <i>n</i> число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif"> можно представить в виде разности <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif"> где <i>k</i> – целое.
Решить систему уравнений <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">
Коэффициенты квадратного уравнения <i>x</i>² + <i>px + q</i> = 0 изменили не больше чем на 0,001.
Может ли больший корень уравнения измениться больше, чем на 1000?
Дано число <i>A</i> = <img width="16" height="44" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_2.gif"><img width="77" height="41" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_3.gif"><img width="23" height="51" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79260/problem_79260_img_4.gif">, где <i>M</i> – натуральное число большее 2.
Доказать, что найдётся такое натуральное <i>k</i>, что <i>A</i> = <img width="93" height="58" align="MIDDLE" border="0" src=&quo...
Существуют ли рациональные числа<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, удовлетворяющие равенству <div align="CENTER"> (<i>a</i> + <i>b</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)<sup>2n</sup> + (<i>c</i> + <i>d</i>$\displaystyle \sqrt{2}$)<sup>2n</sup> = 5 + 4$\displaystyle \sqrt{2}$ </div>(где<i>n</i>— натуральное число)?
Дано:<div align="CENTER"> <i>a</i><sub>1</sub> = 1966, <i>a</i><sub>k</sub> = $\displaystyle \left[\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right.$$\displaystyle \sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sqrt{a_1+a_2+\dots +a_{k-1}}}\right]$. </div>Найти<i>a</i><sub>1966</sub>.
Найти действительные корни уравнения:<div align="CENTER"> <i>x</i><sup>2</sup> + 2<i>ax</i> + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - <i>a</i> + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$0 < <i>a</i> < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$. </div>
Решить уравнение <img width="98" height="39" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/76453/problem_76453_img_2.gif"> = <i>x</i>.
Вычислите квадратный корень из числа 0,111...111<nobr>(100 единиц)</nobr>с точностью до<nobr>а) 100;</nobr><nobr>б) 101;</nobr><nobr>в)* 200</nobr>знаков после запятой.
Пусть <i>a</i> – заданное вещественное число, <i>n</i> – натуральное число, <i>n</i> > 1.
Найдите все такие <i>x</i>, что сумма корней <i>n</i>-й степени из чисел <i>x<sup>n</sup> – a<sup>n</sup></i> и 2<i>a<sup>n</sup> – x<sup>n</sup></i> равна числу <i>a</i>.
Если<nobr><i>x</i><sub>1</sub> < <i>x</i><sub>2</sub> < <i>x</i><sub>3</sub> < ... < <i>x</i><sub><i>n</i></sub> —</nobr>натуральные числа, то сумма<nobr><i>n</i> – 1</nobr>дробей,<nobr><i>k</i>-я из</nobr>которых, где<nobr><i>k</i> < <i>n</i>,</nobr>равна отношению квадратного корня из разности<nobr><i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub> - <i>x</i><sub><i>k</i></sub></nobr>к числу<i>x</i><sub><i>k</i>+1</sub>, меньше суммы чисел 1,<sup>1</sup>/<sub&g...