Олимпиадная задача по системам счисления и комбинаторике: семнадцатая цифра в квадрате числа

  Запишем каждое число, не превосходящее 10²⁰, двадцатью цифрами, дополнив его недостающими нулями в старших разрядах. Зафиксируем первые три цифры и убедимся, что при любом выборе этих трёх цифр квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвёртой цифрой 7 больше, чем квадратов с такими первыми тремя цифрами и четвёртой цифрой 8.

  Нам нужно сравнить количество точных квадратов на полуинтервале  [10¹⁶ (A – 1), 10¹⁶A)  с числом точных квадратов на полуинтервале

[10¹⁶A, 10¹⁶ (A + 1) )   (A > 10⁴  – число, полученное приписыванием восьмерки к трём зафиксированным первым цифрам), то есть количество натуральных чисел на полуинтервале     с количеством натуральных чисел на полуинтервале     А так как количество натуральных чисел на полуинтервале отличается от его длины не более чем на 1, нам достаточно показать, что длины последних полуинтервалов отличаются более чем на 2. В этом можно убедиться непосредственно:

Тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7.