Олимпиадная задача Богданова: равенство сумм и корней для натуральных чисел (9–11 класс)

Будем искать такие числа в виде  m = a²,  n = b³,  p = c²,  q = d³,  где a, b, c, d – натуральные. Тогда  a + b = c + d,  a² + b³ = c² + d³,  то есть  a – c = d – b,

(a – c)(a + c) = (d – b)(d² + bd + b²).  Зафиксируем такие b и d, что  b = d – 1 > 2004.  Тогда условиям удовлетворяет пара  c = ½ (d² + bd + b² – 1),

a = ½ (d² + bd + b² + 1);  эти числа целые, поскольку b и d разной чётности. Кроме того,  a > c > b² > d > b > 2004.

Существуют.