Олимпиадная задача Френкина: решить систему уравнений на корни и степени (10-11 класс)

  Пусть  x₁ + x₂ + ... + x_n = S.  Возведя равенство     в квадрат и приведя подобные, получим x_i(S – x_i) = x_j(S – x_j)   ⇔   (x_i – x_j)(x_i + x_j – S) = 0.   Таким образом, для каждой пары неизвестных либо  x_i = x_j,  либо  x_i + x_j = S.

  x₁ > x₂,  поэтому  x₁ + x₂ = S.  Поскольку все неизвестные неотрицательны,  x₃ = x₄ = ... = x_n = 0.

  x₂ + x₃ = x₂ < S,  следовательно,  x₂ = x₃ = 0.

(1, 0, ..., 0).