Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты <i>x</i> и <i>у</i> которых удовлетворяют неравенству  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116892/problem_116892_img_2.gif"> .

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116794/problem_116794_img_2.gif"> .

Решите уравнение:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116615/problem_116615_img_2.gif">.

Решите неравенство:   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116430/problem_116430_img_2.gif">

Целые числа <i>m</i> и <i>n</i> таковы, что сумма   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116373/problem_116373_img_2.gif">   целая. Верно ли, что оба слагаемых целые?

Решите систему уравнений  (<i>n</i> > 2)      <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_2.gif">   <img align="middle" src="/storage/problem-media/111649/problem_111649_img_3.gif">     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = 1.

Каких точных квадратов, не превосходящих 10²⁰, больше: тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 7, или тех, у которых семнадцатая с конца цифра – 8?

Положительные числа <i>x, y, z</i> таковы, что модуль разности любых двух из них меньше 2.

Докажите, что &nbsp<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_2.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_3.gif"> + <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110162/problem_110162_img_4.gif"> > <i>x + y + z</i>.

Для неотрицательных чисел <i>x</i> и <i>y</i>, не превосходящих 1, докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/110027/problem_110027_img_2.gif">

Докажите, что если <center><i> <img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_3.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_4.gif">=<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_5.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_6.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_7.gif">=

<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_8.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_9.gif">+<img src="/storage/problem-media/109920/problem_109920_img_10.gif">

<...

Дана функция<i> f</i>(<i>x</i>)<i>=<img src="/storage/problem-media/109863/problem_109863_img_2.gif"> </i>. Найдите<i>f</i>(<i>.. f</i>(<i>f</i>(19))<i>..</i>)<i></i>95<i> раз</i>.

Докажите, что<i> sin<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_2.gif"><<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_3.gif"> </i>при0<i><x<<img src="/storage/problem-media/109838/problem_109838_img_4.gif"> </i>.

Существуют ли такие попарно различные натуральные числа <i>m, n, p, q</i>, что  <i>m + n = p + q</i>  и  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109812/problem_109812_img_2.gif">

Сумма положительных чисел <i>a, b, c</i> равна 3. Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109763/problem_109763_img_2.gif">

Докажите, что для любого натурального числа  <i>n</i> > 10000  найдётся такое натуральное число <i>m</i>, представимое в виде суммы двух квадратов, что

 0 < <i>m – n</i> < 3 <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109761/problem_109761_img_2.gif"> .

Докажите, что если(<i>x+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_2.gif"></i>)(<i>y+<img src="/storage/problem-media/109565/problem_109565_img_3.gif"></i>)<i>=</i>1, то<i> x+y=</i>0.

Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109540/problem_109540_img_2.gif">

Докажите, что для любого натурального  <i>n</i> > 2  число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109530/problem_109530_img_2.gif">   делится на 8.

Найти решение уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109174/problem_109174_img_2.gif">   в целых числах.

Доказать, что для любого целого <i>n</i> число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif">   можно представить в виде разности   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif">   где <i>k</i> – целое.

Решить систему уравнений     <img align="middle" src="/storage/problem-media/108989/problem_108989_img_2.gif">

Найти все действительные решения уравнения <center><i>

36/<img src="/storage/problem-media/108984/problem_108984_img_2.gif">+4/<img src="/storage/problem-media/108984/problem_108984_img_3.gif">=28-4<img src="/storage/problem-media/108984/problem_108984_img_2.gif">-<img src="/storage/problem-media/108984/problem_108984_img_3.gif">.

</i></center>

Доказать, что выражение <center><i>

<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_3.gif">

</i></center> равно 2, если<i> 1<= a <= 2 </i>, и равно<i> 2<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_4.gif"> </i>, если<i> a>2 </i>.

Назовём <i>белыми</i> числа вида $\sqrt{a+b\sqrt{2}}$, где $a$ и $b$  — целые, не равные нулю. Аналогично, назовём <i>чёрными</i> числа вида $\sqrt{c+d\sqrt{7}}$, где $c$ и $d$  — целые, не равные нулю. Может ли чёрное число равняться сумме нескольких белых?

Сравните без помощи калькулятора числа:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/104092/problem_104092_img_2.jpg">.