Олимпиадная задача по алгебре: Найти все действительные решения уравнения для 9-10 класса

Из условия видно, что x 2,y 1 . Введём обозначения: =a², =b² . Наше уравнение можно переписать так: 36/a²+4/b²+4a²+b²-28=0. Разобьём свободный член на два слагаемых и перегруппируем уравнения:

(36/a²-24+4a²)+(4/b²-4+b²)=0

или

(6/a-2a)²+(2/b-b)²=0.

Но сумма двух квадратов действительных чисел может равняться нулю только при условии, что каждое слагаемое равно нулю. Поэтому 6/a=2a, 2/b=b или a²=3, b²=2 . Возвращаясь к прежним обозначениям, найдём: x=11, y=5 .

x=11, y=5 .