Олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, <i>a</i> и <i>b</i>, и одна внутренняя, <i>c</i>. Прямые <i>a, b</i> и <i>c</i> касаются окружности ω₁ в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ и <i>C</i>₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников <i>A</i>₁<i>B</i&gt...

Серединный перпендикуляр к стороне <i>AC</i> неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ соответственно. Описанные окружности треугольников <i>BB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>CC</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются в точках <i>P&lt...

Точка <i>E</i> – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника <i>ABC</i> с его вершиной <i>A</i>. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C'</i> и <i>B'</i> соответственно. Докажите, что точка <i>F</i>, симметричная точке <i>E</i> относительно прямой <i>B'C'</i>, лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Окружность ω, вписанная в остроугольный неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, касается стороны <i>BC</i> в точке <i>D</i>. Пусть точка <i>I</i> – центр окружности ω, а <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AID</i>, пересекает вторично прямую <i>AO</i> в точке <i>E</i>. Докажите, что длина отрезка <i>AE</i> равна радиусу окружности ω.

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.

Какие треугольники можно разрезать на три треугольника с равными радиусами описанных окружностей?

В треугольнике <i> ABC </i>проведена биссектриса <i> BD </i>(точка <i> D </i>лежит на отрезке <i> AC </i>). Прямая <i> BD </i>пересекает окружность <i> Ω </i>, описанную около треугольника <i> ABC </i>, в точках <i> B </i>и <i> E </i>. Окружность <i> ω </i>, построенная на отрезке <i> DE </i>как на диаметре, пересекает окружность <i> Ω </i>в точках <i> E </i>и <i> F </i>. Докажите, что прямая, симметричная прямой <i> BF </i>относительно прямой <i> BD </i>, содержит медиану треугольника <i> ABC </i>.

На сторонах<i> AB </i>и<i> BC </i>параллелограмма<i> ABCD </i>выбраны точки<i> A₁ </i>и<i> C₁ </i>соответственно. Отрезки<i> AC₁ </i>и<i> CA₁ </i>пересекаются в точке<i> P </i>. Описанные окружности треугольников <i> AA₁P </i>и<i> CC₁P </i>вторично пересекаются в точке<i> Q </i>, лежащей внутри треугольника <i> ACD </i>. Докажите, что<i> <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115402/problem_115402_img_2.gif"> PDA=<img align="absmiddle" src="/storage/...

Пусть точки<i> A </i>,<i> B </i>,<i> C </i>лежат на окружности, а прямая<i> b </i>касается этой окружности в точке<i> B </i>. Из точки<i> P </i>, лежащей на прямой<i> b </i>, опущены перпендикуляры<i> PA₁ </i>и<i> PC₁ </i>на прямые<i> AB </i>и<i> BC </i>соответственно (точки<i> A₁ </i>и<i> C₁ </i>лежат на отрезках<i> AB </i>и<i> BC </i>). Докажите, что<i> A₁C₁ <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115370/problem_115370_img_2.gif"> A...

Прямые, касающиеся окружности ω в точках <i>B</i> и <i>D</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i>, высекает на окружности хорду <i>AC</i>. Через точку отрезка <i>AC</i> проведена прямая, параллельная <i>BD</i>. Докажите, что она делит длины ломаных <i>ABC</i> и <i>ADC</i> в одинаковых отношениях.

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> точки <i>H</i> и <i>M</i> – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины <i>A, B</i> и <i>C</i> проведены прямые, перпендикулярные прямым <i>AM, BM, CM</i> соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой <i>MH</i>.

На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.

Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?

На стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>выбрана произвольная точка<i> D </i>. В треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>вписаны окружности с центрами<i> K </i>и<i> L </i>соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников<i> BKD </i>и<i> CLD </i>вторично пересекаются на фиксированной окружности.

Точка<i> D </i>на стороне<i> BC </i>треугольника<i> ABC </i>такова, что радиусы вписанных окружностей треугольников<i> ABD </i>и<i> ACD </i>равны. Докажите, что радиусы окружностей, вневписанных в треугольники<i> ABD </i>и<i> ACD </i>, касающихся соответственно отрезков<i> BD </i>и<i> CD </i>, также равны.

Медиану <i>AA</i>₀ треугольника <i>ABC</i> отложили от точки <i>A</i>₀ перпендикулярно стороне <i>BC</i> во внешнюю сторону треугольника. Обозначим второй конец построенного отрезка через <i>A</i>₁. Аналогично строятся точки <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁. Найдите углы треугольника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, если углы треугольника <i>ABC</i> равны 30°, 30° и 120°.

Каждая деталь конструктора "Юный паяльщик" – это скобка в виде буквы П, состоящая из трёх единичных отрезков. Можно ли из деталей этого конструктора спаять полный проволочный каркас куба 2×2×2, разбитого на кубики 1×1×1? (Каркас состоит из 27 точек, соединённых единичными отрезками; любые две соседние точки должны быть соединены ровно одним проволочным отрезком.)

Биссектрисы углов<i> A </i>и<i> C </i>треугольника<i> ABC </i>пересекают описанную окружность этого треугольника в точках<i> A₀ </i>и<i> C₀ </i>соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника<i> ABC </i>параллельно стороне<i> AC </i>, пересекается с прямой<i> A₀C₀ </i>в точке<i> P </i>. Докажите, что прямая<i> PB </i>касается описанной окружности треугольника<i> ABC </i>.

Через точку пересечения высот остроугольного треугольника <i> ABC </i> проходят три окружности, каждая из которых касается одной из сторон треугольника в основании высоты. Докажите, что вторые точки пересечения окружностей являются вершинами треугольника, подобного исходному.

Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> пересекают его стороны в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках <i>A</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Прямые <i>A</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₀<i>C</i>₀ пересекаются в точке <i>P</i>. Докажите, что отрезок, соединяющий <i>P</i> с центром вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, параллелен <i>AC</i>.

<i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты остроугольного неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Известно, что отрезок <i>A</i>₁<i>B</i>₁ пересекает среднюю линию, параллельную <i>AB</i>, в точке <i>C'</i>. Докажите, что отрезок <i>CC'</i> перпендикулярен прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.

Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?

Каждую вершину выпуклого четырехугольника площади<i> S </i>отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину. Обозначим площадь получившегося четырехугольника через<i> S' </i>. Докажите, что<i> <img src="/storage/problem-media/110176/problem_110176_img_2.gif"><</i>3.

Окружности<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>. В точке<i> A </i>к<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>проведены соответственно касательные<i> l₁ </i>и<i> l₂ </i>. Точки<i> T₁ </i>и<i> T₂ </i>выбраны соответственно на окружностях<i> σ ₁ </i>и<i> σ ₂ </i>так, что угловые меры дуг<i> T₁A </i>и<i> AT₂ </i>равны (величина дуги...

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?