Олимпиадная задача: разрезание треугольника на три с равными радиусами описанных окружностей

  Если треугольник ABC остроугольный, то радиусы описанных окружностей треугольников ABH, BCH и CAH, где H – ортоцентр, равны (см. задачу 155597).

  Пусть  ∠C ≥ 90° и AC > BC.  Возьмём на стороне AC такую точку D, что  AD = BD,  а на стороне AB такую точку E, что  ∠AED = ∠C  (это возможно, так как  ∠A < 180° – ∠C).  По теореме синусов радиусы описанных окружностей треугольников ADE, BDE и BDC равны (см. рис.).

  Пусть  ∠C≥ 90°  и  AC = BC.  Покажем, что треугольникABCнельзя разрезать требуемым образом. Если разрезание осуществляется из внутренней точки, то радиусы получившихся треугольников могут быть равны только, если точка является ортоцентром, что невозможно. Если же треугольник разрезается чевианой на два, а затем один из этих двух еще раз на два, то треугольник, который разрезается второй чевианой, должен быть равнобедренным, следовательно первый разрез нужно производить отрезкомCD, где  AD = AC.  Но тогда при любом разрезании треугольникаACDиз вершиныAрадиусы описанных окружностей полученных треугольников будут меньше радиуса описанной окружности треугольникаBCD(см. рис.).

Все, кроме равнобедренных неостроугольных.