Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: касательная через биссектрисы треугольника ABC

Задача 210216 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A0 и C0 соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A0C0 в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

Авторы:
Емельянов Л. А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2005-2006 Региональный этап
Количество версий:
4
Решение
Обозначим центр вписанной окружности через I . Пусть B0 – точка пересечения биссектрисы угла B с описанной окружностью. Тогда IBC0=(AC0+AB0) =(BC0+CB0)= BIC0 , т.е. треугольник BIC0 равнобедренный, BC0=IC0 .

Аналогично, BA0=IA0 , значит треугольники A0IC0 и A0BC0 равны (см. рис.) . Следовательно, точки B и I симметричны относительно C0A0 , т.е. A0P – серединный перпендикуляр к отрезку BI .

Пусть, для определенности, P лежит на луче C0A0 . Пользуясь симметрией относительно A0P , имеем: A0BP= A0IP= A0AC= A0AB . Получилось, что угол между хордой A0B окружности и прямой BP равен вписанному углу этой окружности, опирающемуся на дугу A0B . По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, заключаем, что BP – касательная к описанной окружности треугольника ABC .

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет