Олимпиадная задача по планиметрии для 8–10 класса. Серединные перпендикуляры треугольника

  Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Покажем сначала, что прямая OB касается описанной окружности ω_b треугольника BB₁B₂.

  Пусть  AB < BC;  тогда точка B₂ лежит на стороне BC, а B₁ – на продолжении стороны AB за точку B. Имеем  ∠B₂B₁A = ∠OB₁A = 90° – ∠A. С другой стороны,  ∠B₂BO = ∠CBO = 90° – ½ ∠BOC = 90° – ∠A.  Таким образом, вписанный угол B₂B₁B равен углу между секущей BB₂ и прямой OB. Следовательно, OB касается ω_b.

  Если  AB > BC,  то проходит то же рассуждение с заменой точки A на C и наоборот.

  Аналогично прямаяOCкасается описанной окружности ω_cтреугольникаCC₁C₂. Допустим, что прямаяOPпересекает ω_bи ω_cв различных точкахQ_bиQ_c. Тогда  OQ_b·OP = OB² =OC² =OQ_c·OP,  откуда  OQ_b = OQ_c.  Поскольку точкиQ_bиQ_cлежат по ту же сторону отO, что иP, то они совпадают между собой, а значит, и сQ.

Ответ задачи отсутствует