Назад

Олимпиадная задача по планиметрии: биссектрисы и параллельные в треугольнике ABC

Задача 210203 • Сложность: 3 • 8-9 класс
Задача

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Авторы:
Емельянов Л. А.
Разделы:
Планиметрия
Источники:
Олимпиады и турниры Всероссийская олимпиада по математике 2005-2006 Региональный этап
Количество версий:
5
Решение

  Обозначим центр вписанной окружности через I. Заметим, что  ∠IAC0 = ∠IAB + ∠BAC0 = ∠IAC + ∠ICA = ∠AIC0,  то есть треугольник AIC0 – равнобедренный,  C0A = C0I.  Кроме того,  ∠C0AC1 = ∠C0CA,  поэтому треугольники C0AC1 и C0CA подобны по двум углам. Следовательно,

C0A : C0C1 = C0C : C0A,  то есть  C0I : C0C1 = C0C : C0I

  Проведём через точкуIпрямыеlиm, параллельныеACиA1C1соответственно. ПустьP'– точка пересечения прямыхlиA1C1, аQ– точка пересеченияmиAC. Из доказанного соотношения следует, что при гомотетии с центромC0, переводящейC1вI, точкаIпереходит вC, прямыеlиA1C1– вACиmсоответственно; поэтому точкаP'переходит вQ. Следовательно,C0лежит на прямойP'Q. АналогичноA0лежит на прямойP'Q, поэтому прямыеP'QиA0C0совпадают,P'лежит наA0C0и совпадает сP, что и требовалось.
Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет