Олимпиадная задача по планиметрии для 9–11 классов: радиусы окружностей в треугольниках

Первое решение.

Рассмотрим общую внешнюю касательную l (отличную от BC ) для окружностей σ ₁ и σ ₂ , вписанных в треугольники ABD и ACD (рисунок). Из равенства окружностей l|| BC . Рассмотрим гомотетию с центром A , переводящую прямую l в прямую BC . При выполнении этой гомотетии окружность σ ₁ перейдет в окружность, отличную от σ₁ , вписанную в угол BAD и касающуюся прямой BC , т.е. в соответствующую вневписанную окружность треугольника ABD . Аналогично, σ₂ перейдет во вневписанную окружность треугольника ACD . Отсюда вытекает утверждение задачи, так как при гомотетии равные окружности переходят в равные. Второе решение. Пусть высота треугольника ABC , опущенная из вершины A , равна h , площади треугольников ABD и ACD равны S₁ , S₂ , радиусы их вписанных окружностей равны r , радиусы вневписанных окружностей (о которых идет речь в задаче) – r₁ и r₂ , соответственно. Положив AB=c , AD=d , BD=x , находим 2S₁=r₁(c+d-x) = = - 2 = - . Аналогично можно получить, что = - , откуда r₁=r₂ .

Ответ задачи отсутствует