Олимпиадные задачи из источника «IX Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2013 г.)» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

а) В треугольник <i>ABC</i> вписаны треугольники <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ так, что  <i>C</i>₁<i>A</i>₁ ⊥ <i>BC</i>,  <i>A</i>₁<i>B</i>₁ ⊥ <i>CA</i>,  <i>B</i>₁<i>C</i>₁ ⊥ <i>AB</i>,  <i>B</i>₂<i>A</i>₂ ⊥ <i>BC</i>,  &...

Точки <i>M, N</i> – середины диагоналей <i>AC, BD</i> прямоугольной трапеции <i>ABCD</i>  (∠<i>A</i> = ∠<i>D</i> = 90°).  Описанные окружности треугольников <i>ABN, CDM</i> пересекают прямую <i>BC</i> в точках <i>Q, R</i>. Докажите, что точки <i>Q, R</i> равноудалены от середины отрезка <i>MN</i>.

Пусть <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно, а <i>A'</i> и <i>C'</i> – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол <i>B</i>, с продолжениями сторон <i>BC</i> и <i>AB</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр <i>H</i> треугольника <i>ABC</i> лежит на <i>A</i>₁<i>C</i>₁ тогда и только тогда, когда прямые <i>A'C</i>₁ и <i>BA</i> перпендикулярны.

На каждой стороне треугольника <i>ABC</i> отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.   а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.  б) Решите пункт а), проведя только три прямых.

а) Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников <i>ABC, BCD, CDA, DAB</i>. Может ли оказаться, что  <i>r</i>₄ > 2<i>r</i>₃? б) В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>E</i>. Пусть  <i>r</i>₁ ≤ <i>r</i>₂ ≤ <i>r</i>₃ ≤ <i>r</i>₄  – взятые в...

Вписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается стороны <i>AB</i> в точке <i>C'</i>. Вписанная окружность треугольника <i>ACC'</i> касается сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i>₁, <i>B</i>₁; Вписанная окружность треугольника <i>BCC'</i>, касается сторон <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>C</i>₂, <i>A</i>₂. Докажите, что прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₂<i>C</i>₂ и <i>CC&#...

Пусть <i>T</i>₁, <i>T</i>₂ – точки касания вневписанных окружностей треугольника <i>ABC</i> со сторонами <i>BC</i> и <i>AC</i> соответственно. Оказалось, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника относительно середины <i>AB</i>, лежит на описанной окружности треугольника <i>CT</i>₁<i>T</i>₂. Найдите угол <i>BCA</i>.

Пусть <i>BD</i> – биссектриса треугольника <i>ABC</i>. Точки <i>I_a, I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABD, CBD</i>. Прямая <i>I_aI_c</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что  ∠<i>DBQ</i> = 90°.

Диагонали <i>AC, BD</i> трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Описанные окружности треугольников <i>ABP, CDP</i> пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>X, Y</i>. Точка <i>M</i> – середина <i>XY</i>. Докажите, что  <i>BM = CM</i>.

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.

Верно ли, что четырёхугольник – ромб?

Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>O</i> – центр его описанной окружности, а точка <i>K</i> – центр описанной окружности ω треугольника <i>BCO</i>. Высота треугольника <i>ABC</i>, проведенная из точки <i>A</i>, пересекает окружность ω в точке <i>P</i>. Прямая <i>PK</i> пересекает описанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что один из отрезков <i>EP</i> и <i>FP</i> равен отрезку <i>PA</i>.

Вневписанная окружность, соответствующая вершине <i>A</i> прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°),  касается продолжений сторон <i>AB, AC</i> в точках <i>A</i>₁, <i>A</i>₂ соответственно; аналогично определим точки <i>C</i>₁, <i>C</i>₂. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A, B, C</i> на прямые <i>C</i>₁<i>C</i>₂, <i>A</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>A</i>₂ со...

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AC = BC</i>)  угол при вершине <i>C</i> равен 20°. Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i> пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>OB</i>₁ (где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) является равносторонним.

В треугольнике <i>ABC  AB = BC</i>. Из точки <i>E</i> на стороне <i>AB</i> опущен перпендикуляр <i>ED</i> на <i>BC</i>. Оказалось, что  <i>AE = ED</i>.  Найдите угол <i>DAC</i>.

Три велосипедиста ездят по кольцевой дороге радиуса 1 км против часовой стрелки с постоянными различными скоростями.

Верно ли, что, если они будут кататься достаточно долго, то найдётся момент, когда расстояние между каждыми двумя из них будет больше 1 км?

Пусть <i>O</i> – одна из точек пересечения окружностей ω₁ и ω₂. Окружность ω с центром <i>O</i> пересекает ω₁ в точках <i>A</i> и <i>B</i>, а ω₂ – в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Пусть <i>X</i> – точка пересечения прямых <i>AC</i> и <i>BD</i>. Докажите, что все такие точки <i>X</i> лежат на одной прямой.

Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω_<i>a</i> с центром <i>I_a</i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω_<i>c</i> с центром <i>I_c</i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i>₁ и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ лежит на прямой <i>I<sub&g...

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> взяты точки <i>E</i> и <i>F</i>. Прямые <i>EF</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины отрезков <i>BC</i> и <i>EF</i> соответственно. Прямая, проходящая через вершину <i>A</i> и параллельная <i>MN</i>, пересекает <i>BC</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>BK</i> : <i>CK = FS</i> : <i>ES</i>.

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что <i>S_AOB + S_COD</i> ≤ 2(<i>S_AOD + S_BOC</i>).

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>C</i> и <i>D</i>, лежащие соответственно на ω₁ и ω₂ по разные стороны от прямой <i>AB</i>, равноудалены от этой прямой. Докажите, что точки <i>C</i> и <i>D</i> равноудалены от середины отрезка <i>O</i>₁<i>O</i>₂.

Пятиугольник <i>ABCDE</i>, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>₁; продолжения сторон <i>BC</i> и <i>DE</i> – в точке <i>A</i>₁. Касательная, проведённая в точке <i>B</i> к описанной окружности треугольника <i>BE</i>₁<i>C</i>, пересекает ω в точке <i>B</i>₁; аналогично определяется точка <i>D</i>₁. Докажите, что  <i>B</i>₁<i>D</i>₁ || <i>AE</i>.

Пусть <i>P</i> – произвольная точка на дуге <i>AC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, не содержащей точки <i>B</i>. Биссектриса угла <i>APB</i> пересекает биссектрису угла <i>BAC</i> в точке <i>P_a</i>; биссектриса угла <i>CPB</i> пересекает биссектрису угла <i>BCA</i> в точке <i>P_c</i>. Докажите, что для всех точек <i>P</i> центры описанных окружностей треугольников <i>PP_aP_c</i> лежат на одной прямой.

Три окружности касаются друг друга извне и касаются четвёртой окружности изнутри. Их центры были отмечены, а сами окружности стёрты. Оказалось, что невозможно установить, какая из отмеченных точек – центр объемлющей окружности. Докажите, что отмеченные точки образуют прямоугольник.

На отрезке <i>AB</i> построена дуга α (см. рис.). Окружность ω касается отрезка <i>AB</i> в точке <i>T</i> и пересекает α в точках <i>C</i> и <i>D</i>. Лучи <i>AC</i> и <i>TD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BD</i> и <i>TC</i> – в точке <i>F</i>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>AB</i> параллельны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64390/problem_64390_img_2.png"></div>