Пусть ABCD и O – четырёхугольник и точка из условия. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Так как треугольники ABO и CBO равны, то углы BAO и BCO равны, как лежащие против BO. Аналогично  ∠DAO = ∠DCO,  откуда  ∠BAD = ∠BCD.  Точно так же равны и два других противоположных угла четырёхугольника, поэтому сумма любых двух соседних углов равна π, то есть ABCD – параллелограмм.

  При точке O найдутся два соседних угла, сумма которых не меньше π, скажем угол AOB и угол COB. Второй из них равен одному из углов треугольника AOB. Это может быть только угол AOB, так как его сумма с любым другим углом треугольника AOB меньше π. В равных треугольниках AOB и COB против равных углов лежат равные стороны, поэтому  AB = BC  и, значит, ABCD – ромб.

Верно.