Пусть основанием пирамиды SA₁...A_n является многоугольник A₁...A_n (см. рисунки). Возможны два случая.

  1) Соседние углы в двух соседних боковых гранях – прямые. Пусть, например,  ∠SA₂A₁ = ∠SA₂A₃ = 90°  (рис. слева). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  SA₂ ⊥ A₁A₂A₃,  то есть SA₂ – высота пирамиды, и она принадлежит боковой поверхности пирамиды.

  2) В любых двух соседних боковых гранях прямые углы не имеют общей вершины. Пусть в прямоугольных треугольникахSA_nA₁,SA₁A₂, ...,SA_n–1A_nвершинами прямых углов являются точкиA₁,A₂, ...,A_nсоответственно (рис. справа). Воспользуемся тем, что гипотенуза больше катета. Тогда из треугольникаSA₁A₂ SA₁>SA₂,  из треугольникаSA₂A₃ SA₂>SA₃,  и так далее.   Записав аналогичные неравенства для каждой боковой грани, получим  SA₁>SA₂> ... >SA_n > SA₁,  то есть  SA₁>SA₁.  Противоречие.   Таким образом, внутри данной пирамиды высота лежать не может.

Не может.