Для каждой клетки одной из главных диагоналей рассмотрим крест совокупность из двадцати пяти клеток: её саму и все клетки, стоящие с ней в одной горизонтали или вертикали.

  Рассмотрим все кресты, образованные клетками выделенной главной диагонали. Заметим, что каждая клетка этой диагонали входит только в один крест (свой собственный), а любая другая клетка таблицы входит ровно в два таких креста.

  Далее можно рассуждать по-разному.   Первый способ. Рассмотрим натуральное число от 1 до 25, отсутствующее на выделенной главной диагонали (такое наверняка найдётся, так как на диагонали всего лишь 13 клеток). Пусть все клетки главной диагонали – хорошие, тогда это число входит в каждый из тринадцати крестов ровно один раз. Но любое число, стоящее вне главной диагонали, должно входить в два креста, поэтому все кресты должны разбиваться на пары, а для тринадцати крестов это невозможно. Противоречие.   Второй способ. Для того, чтобы число 1 встретилось в каждом из 13 крестов, оно должно быть записано в таблицу не менее семи раз. Это же можно сказать о каждом из двадцати пяти данных чисел. Значит, для того, чтобы все клетки рассматриваемой главной диагонали были хорошими, потребуется заполнить не менее чем  7·25 = 175  клеток. Но в таблице всего  13·13 = 169  клеток. Противоречие.   Таким образом, все клетки главной диагонали не могут оказаться хорошими.

Не могут.