Олимпиадные задачи из источника «2015 год» для 11 класса
Каждая клетка таблицы размером 7×8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых, и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных, и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?
Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Решите неравенство <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65525/problem_65525_img_2.gif">.
В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE</i> и <i>BF</i> пересекаются в точке <i>G</i>.
Что больше: площадь треугольника <i>AGF</i> или площадь четырёхугольника <i>GECF</i>?
Существуют ли такие целые числа <i>p</i> и <i>q</i>, что при любых целых значениях <i>x</i> выражение <i>x</i><sup>2</sup> + <i>px + q</i> кратно 3?
Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, большее 1, что значение выражения <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65522/problem_65522_img_2.gif"> является натуральным числом?
Через точку <i>P</i> проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника <i>ABC</i> (см. рисунок).
Докажите, что площади треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub> равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65521/problem_65521_img_2.png"></div>
В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?
Даны три квадратных трёхчлена: <i>x</i>² + <i>b</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>c</i><sub>1</sub>, <i>x</i>² + <i>b</i><sub>2</sub><i>x</i> + <i>c</i><sub>2</sub> и <i>x</i>² + ½ (<i>b</i><sub>1</sub> + <i>b</i><sub>2</sub>)<i>x</i> + ½ (<i>c</i><sub>1</sub> + <i>c</i><sub>2</sub>). Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).
В остроугольном треугольнике <i>MKN</i> проведена биссектриса <i>KL</i>. Точка <i>X</i> на стороне <i>MK</i> такова, что <i>KX = KN</i>. Докажите, что прямые <i>KO</i> и <i>XL</i> перпендикулярны (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>MKN</i>).
Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?
В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65516/problem_65516_img_2.png"></div>