Олимпиадные задачи из источника «11 класс»

Каждая клетка таблицы размером 7×8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых, и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных, и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

Решите неравенство   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65525/problem_65525_img_2.gif">.

В квадрате <i>ABCD</i> точки <i>E</i> и <i>F</i> – середины сторон <i>BC</i> и <i>CD</i> соответственно. Отрезки <i>AE</i> и <i>BF</i> пересекаются в точке <i>G</i>.

Что больше: площадь треугольника <i>AGF</i> или площадь четырёхугольника <i>GECF</i>?

Существуют ли такие целые числа <i>p</i> и <i>q</i>, что при любых целых значениях <i>x</i> выражение  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  кратно 3?

Существует ли такое натуральное число <i>n</i>, большее 1, что значение выражения  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65522/problem_65522_img_2.gif">  является натуральным числом?