Олимпиадные задачи из источника «10 класс»

Через точку <i>P</i> проведены три отрезка, параллельные сторонам треугольника <i>ABC</i> (см. рисунок).

Докажите, что площади треугольников <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65521/problem_65521_img_2.png"></div>

В турнире участвовали 50 шахматистов. В некоторый момент турнира была сыграна 61 партия, причём каждый участник сыграл либо две партии, либо три (и никто не играл друг с другом дважды). Могло ли оказаться так, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой?

Даны три квадратных трёхчлена:  <i>x</i>² + <i>b</i>₁<i>x</i> + <i>c</i>₁,  <i>x</i>² + <i>b</i>₂<i>x</i> + <i>c</i>₂  и  <i>x</i>² + ½ (<i>b</i>₁ + <i>b</i>₂)<i>x</i> + ½ (<i>c</i>₁ + <i>c</i>₂).  Известно, что их сумма имеет корни (возможно, два совпадающих). Докажите, что хотя бы у двух из этих трёхчленов также есть корни (возможно, два совпадающих).

В остроугольном треугольнике <i>MKN</i> проведена биссектриса <i>KL</i>. Точка <i>X</i> на стороне <i>MK</i> такова, что  <i>KX = KN</i>.  Докажите, что прямые <i>KO</i> и <i>XL</i> перпендикулярны (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>MKN</i>).

Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, у каждого из которых ровно четыре натуральных делителя (включая 1 и само число)?

В клетках квадрата 3×3 записаны буквы (см. рисунок). Можно ли их расставить так, чтобы каждые две буквы, исходно отстоявшие на ход коня, после перестановки оказались в клетках, отстоящих на ход короля? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65516/problem_65516_img_2.png"></div>