Задача
В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири – целое число килограммов?
Решение
Одной или двумя гирями массы 1 кг, 3 кг, 5 кг, 7 кг, 9 кг и 10 кг можно взвесить любой из данных арбузов. Действительно, 2 = 1 + 1, 4 = 3 + 1,
6 = 5 + 1, 8 = 7 + 1, 11 = 10 + 1, 12 = 9 + 3, 13 = 10 + 3, 14 = 9 + 5, 15 = 10 + 5, 16 = 9 + 7, 17 = 10 + 7, 18 = 9 + 9, 19 = 10 + 9, 20 = 10 + 10. Таким образом, шесть различных чисел могло быть записано.
Покажем, что пяти типов гирь недостаточно для требуемых взвешиваний. Если гирь пять, то какие-то двадцать арбузов, вообще говоря, взвесить можно. А именно: пять арбузов уравновесить одиночными гирями, пять – двойными и остальные 5·4 : 2 = 10 арбузов – парами различных гирь. Но при этом каждая комбинация гирь должна быть использована ровно один раз.
Заметим, что половина арбузов имеет нечётную массу. Пусть из пяти гирь k имеют нечётную массу, а 5 – k – чётную. Тогда количество способов взвесить арбуз нечётной массы в точности равно k + k(5 – k) = 6k – k². Однако ни при каком k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 это выражение не равно 10 (это можно проверить либо подстановкой, либо решив квадратное уравнение 6k – k² = 10).
Ответ
6 чисел.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь