Задача
Каждая клетка таблицы размером 7×8 (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых, и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных, и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?
Решение
1) В каждой строке таблицы красных клеток не меньше, чем жёлтых, следовательно, и во всей таблице красных клеток не меньше, чем жёлтых.
В каждом столбце таблицы жёлтых клеток не меньше, чем красных, следовательно, и во всей таблице жёлтых клеток не меньше, чем красных.
Таким образом, в таблице одинаковое количество красных и жёлтых клеток.
2) Предположим, что в каком-нибудь столбце жёлтых клеток больше, чем красных. Так как в каждом из остальных столбцов жёлтых клеток не меньше, чем красных, то тогда во всей таблице жёлтых клеток будет больше, чем красных, но это не так (см. 1). Значит, в каждом из восьми столбцов красных и жёлтых клеток поровну.
3) Так как в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем зелёных, то исключаются случаи, когда в каждом столбце: а) 1 жёлтая, 1 красная, 5 зелёных клеток и б) 2 жёлтые, 2 красные, 3 зёленые клетки.
Остаётся только случай, когда в каждом столбце 3 красные, 3 жёлтые и 1 зелёная клетка. Значит, всего в таблице – 8 зелёных клеток.
Этот случай возможен. Например, см. таблицу.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь