Олимпиадные задачи из источника «Московская устная олимпиада по геометрии» для 8 класса - сложность 2 с решениями

На плоскости даны два равных многоугольника <i>F</i> и <i>F'</i>. Известно, что все вершины многоугольника <i>F</i> принадлежат <i>F'</i> (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают?

В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и  <i>AB = BC = BD</i>.  Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.

Hа сторонах <i>AB</i>, <i>BC</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбраны точки <i>C</i>', <i>A</i>' и <i>B</i>' соответственно так, что угол <i>A</i>'<i>C</i>'<i>B</i>' — прямой. Докажите, что отрезок <i>A</i>'<i>B</i>' длиннее диаметра вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Oпределите отношение сторон прямоугольника, описанного около уголка из пяти клеток.

Диагонали вписанного четырехугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>K</i>.

Докажите, что касательная в точке <i>K</i> к описанной окружности треугольника <i>ABK</i>, параллельна <i>CD</i>.

Дан шестиугольник <i>ABCDEF</i>, в котором <i>AB</i> = <i>BC</i>, <i>CD</i> = <i>DE</i>, <i>EF</i> = <i>FA</i>, а углы <i>A</i> и <i>C</i> — прямые. Докажите, что прямые <i>FD</i> и <i>BE</i> перпендикулярны.

В треугольнике <i>ABC</i> на стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что <i>AK</i> = <i>BL</i>, а на стороне <i>BC</i> — точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>CN</i> = <i>BM</i>. Докажите, что <i>KN</i> + <i>LM</i> ≥ <i>AC</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i>  ∠<i>ABC</i> = 90°,  ∠<i>BAC</i> = ∠<i>CAD,  AC = AD,  DH</i> – высота треугольника <i>ACD</i>.

В каком отношении прямая <i>BH</i> делит отрезок <i>CD</i>?

Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и медиане, проведенной к другой стороне (<i>исследование вопроса о количестве решений не требуется</i>).

Tреугольник разбили на пять треугольников, ему подобных. Bерно ли, что исходный треугольник – прямоугольный?

Пусть <i>I</i> – центр окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>. Oкружность, описанная около треугольника <i>BIC</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>EF</i> касается окружности, вписанной в треугольник <i>ABC</i>.

Постройте параллелограмм <i>ABCD</i>, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот <i>BH</i> и <i>BP</i> и середина стороны <i>AD</i>.

Дан равнобедренный прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. Hа продолжениях катетов <i>AB</i> и <i>AC</i> за вершины <i>B</i> и <i>C</i> отложили равные отрезки <i>BK</i> и <i>CL. E</i> и <i>F</i> – точки пересечения отрезка <i>KL</i> и прямых, перпендикулярных <i>KC</i> и проходящих через точки <i>B</i> и <i>A</i> соответственно. БикЮ Докажите, что  <i>EF = FL</i>.

Один треугольник лежит внутри другого.

Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.

Пусть <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>AB, M</i> – середина <i>AB</i>. Описанные окружности треугольников <i>AMA</i>₁ и <i>BMB</i>₁, пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что <i>K, M</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой.

B трапеции <i>ABCD</i>  <i>AB</i> = <i>BC</i> = <i>CD</i>,  <i>CH</i> – высота. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из <i>H</i> на <i>AC</i>, проходит через середину <i>BD</i>.

Из листа бумаги в клетку вырезали квадрат 2×2.

Используя только линейку без делений и не выходя за пределы квадрата, разделите диагональ квадрата на 6 равных частей.

Oколо четырёхугольника <i>ABCD</i> можно описать окружность. Точка <i>P</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на прямую <i>BC, Q</i> – из <i>A</i> на <i>DC, R</i> – из <i>D</i> на <i>AB</i> и <i>T</i> – из <i>D</i> на <i>BC</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, R</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.

B некотором треугольнике биссектрисы двух внутренних углов продолжили до пересечения с описанной окружностью и получили две равные хорды. Bерно ли, что треугольник равнобедренный?

Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (<i>Исследование проводить не требуется.</i>)

В треугольнике <i>ABC  AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. На стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что  <i>B</i>₁<i>K || BC</i>  и  <i>MA</i>₁ || <i>AC</i>.  Докажите, что  ∠<i>AA</i>₁<i>K</i> = ∠<i>BB</i>₁<i>M</i>.

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

Bыпуклый <i>n</i>-угольник <i>P</i>, где  <i>n</i> > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.

Каковы возможные значения <i>n</i>, если <i>n</i>-угольник вписанный?

Две окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. К ним через точку <i>A</i> проводятся касательные <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂ (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки <i>B</i> на <i>l</i>₂ и <i>l</i>₁, вторично пересекают окружности <i>w</i>₁ и <i>w</i>₂ соответственно в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>A</i> и <i>N</i> лежат на одной прямо...

Дан квадратный лист бумаги со стороной 1. Отмерьте на этом листе расстояние &frac56; (лист можно сгибать, в том числе, по любому отрезку с концами на краях бумаги и разгибать обратно; после разгибания на бумаге остаётся след от линии сгиба).