Пусть $x$ и $y$ – искомые числа. По условию $\frac{x+y}{2 \sqrt{xy}} = \frac{25}{24}$, то есть $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{25}{12}$. Положив $q=\sqrt{\frac{x}{y}}$, получим квадратное уравнение $q^2-\frac{25}{12} q+1=0$. Его корни $q_1=\frac{4}{3}$ и $q_2=\frac34$. Соответственнно, $x \colon y = 16 \colon 9$ или $9 \colon 16$.

16 : 9  или  9 : 16.