Олимпиадные задачи из источника «1935 год» - сложность 2 с решениями

Доказать формулы

  а)  [<i>a, b</i>](<i>a, b</i>) = <i>ab</i>.

  б)  [<i>a, b, c</i>](<i>a, b</i>)(<i>b, c</i>)(<i>c, a</i>) = (<i>a, b, c</i>)<i>abc</i>.

Сколькими различными способами можно разложить натуральное число <i>n</i> на сумму трёх натуральных слагаемых? Два разложения, отличающиеся порядком слагаемых, считаются различными.

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.

  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

Решить систему уравнений:

   <i>x</i>³ – <i>y</i>³ = 26,

   <i>x</i>²<i>y – xy</i>² = 6.

На поверхности куба найти точки, из которых диагональ видна под наименьшим углом. Доказать, что из остальных точек поверхности куба диагональ видна под большим углом, чем из найденных.

Дана окружность и на ней 3 точки<i>M</i>,<i>N</i>,<i>P</i>, в которых пересекаются с окружностью (при продолжении) высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник.

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в120^<tt>o</tt>; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью15^<tt>o</tt>. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

Решить систему уравнений:

  <i>x</i>² + <i>y</i>² – 2<i>z</i>² = 2<i>a</i>²,

  <i>x + y</i> + 2<i>z</i> = 4(<i>a</i>² + 1),

  <i>z</i>² – <i>xy</i> = <i>a</i>².

Высота усечённого конуса равна радиусу его большего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее основание. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

Доказать: если стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию, то радиус вписанного круга равен${\frac{1}{3}}$одной из высот.

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой<i>a</i>, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом$\varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом$\alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла$\alpha$.

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.