Олимпиадные задачи из источника «Белорусские республиканские математические олимпиады» для 7-9 класса - сложность 3 с решениями

Найти наименьшее натуральное число <i>A</i>, удовлетворяющее следующим условиям:

  а) его запись оканчивается цифрой 6;

  б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.

Доказать, что если стороны квадрата и равновеликого ему прямоугольника выражены целыми числами, то отношение их периметров выражено не целым числом.

36 т груза упаковано в мешки вместимостью не более 1 т. Доказать, что четырёхтонный грузовой автомобиль за 11 поездок может перевезти этот груз.

Доказать, что каковы бы ни были числа <i>a, b, c</i>, по крайней мере одно из уравнений

    <i>a</i> sin <i>x + b</i> cos <i>x + c</i> = 0,   2<i>a</i> tg <i>x + b</i> ctg <i>x</i> + 2<i>c</i> = 0

имеет решение.

Найти решение уравнения   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109174/problem_109174_img_2.gif">   в целых числах.

Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.

Доказать, что сумма<i> cos α+ cos</i>(72<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(144<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(216<i>^o+α</i>)<i>+ cos</i>(288<i>^o+α</i>)не зависит от<i> α </i>.

Решить уравнение  (<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)⁴ – 10<i>x</i>²(<i>x</i>² – <i>x</i> + 1)² + 9<i>x</i>⁴ = 0.

Найти целые решения уравнения  <i>x</i>²<i>y</i> = 10000<i>x + y</i>.

Доказать, что для любого целого <i>n</i> число   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_2.gif">   можно представить в виде разности   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109157/problem_109157_img_3.gif">   где <i>k</i> – целое.

Из условия<i> tgϕ=</i>1/<i> cosα cosβ+ tgα tgβ </i>вывести, что<i> cos </i>2<i>ϕ<img src="/storage/problem-media/109155/problem_109155_img_2.gif"> </i>0.

Сколько корней имеет уравнение<i> sin x=x/</i>100?

Показать, что<i> sin </i>36<i>^o=</i>1/4<i><img src="/storage/problem-media/109145/problem_109145_img_2.gif"> </i>.

<i>x</i>₁ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² + <i>ax + b</i> = 0,  <i>x</i>₂ – вещественный корень уравнения  <i>x</i>² – <i>ax – b</i> = 0.

Доказать, что уравнение  <i>x</i>² + 2<i>ax</i> + 2<i>b</i> = 0  имеет вещественный корень, заключённый между <i>x</i>₁ и <i>x</i>₂.  (<i>a</i> и <i>b</i> – вещественные числа).

Доказать, что если у шестиугольника противоположные стороны параллельны и диагонали, соединяющие противоположные вершины, равны, то вокруг него можно описать окружность.

Решить систему уравнений     1 − <i>x</i>₁<i>x</i>₂<i>x</i>₃ = 0,

    1 + <i>x</i>₂<i>x</i>₃<i>x</i>₄ = 0,

    1 − <i>x</i>₃<i>x</i>₄<i>x</i>₅ = 0,

    1 + <i>x</i>₄<i>x</i>₅<i>x</i>₆ = 0,

      ...

    1 − <i>x</i>₄₇<i>x</i>₄₈<i>x</i>₄₉ = 0,

    1 + <i&...

<i> MA </i>и<i> MB </i>– касательные к окружности<i> O,; C </i>– точка внутри окружности, лежащая на дуге<i> AB </i>с центром в точке<i> M </i>. Доказать, что отличные от<i> A </i>и<i> B </i>точки пересечения прямых<i> AC </i>и<i> BC </i>с окружностью<i> O </i>лежат на противоположных концах одного диаметра.

Доказать, что существует линия длины<i> <img src="/storage/problem-media/109035/problem_109035_img_2.gif">+1 </i>, которую нельзя покрыть плоской выпуклой фигурой площади<i> S </i>.

Даны три точки<i> A,B,C </i>. Где на прямой<i> AC </i>нужно выбрать точку<i> M </i>, чтобы сумма радиусов окружностей, описанных около треугольников<i> ABM </i>и<i> CBM </i>, была наименьшей?

<i> k </i>точек на плоскости расположены так, что любой треугольник с вершинами в этих точках имеет площадь не больше 1. Доказать, что все эти точки можно поместить в треугольник площади 4.

В приведённой таблице заполнить все клетки так, чтобы числа в каждом столбце и каждой строке составили геометрическую прогрессию. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/109028/problem_109028_img_2.gif"></div>

Построить прямоугольный треугольник по радиусам вписанной и вневписанной (в прямой угол) окружностей.

Диагонали четырёхугольника равны по<i> a </i>, а сумма его средних линий<i> b </i>(средние линии соединяют середины противоположных сторон). Вычислить площадь четырёхугольника.

На плоскости даны точки<i> A </i>и<i> B </i>. Доказать, что множество всех точек<i> M </i>, удалённых от<i> A </i>в 3 раза больше, чем от<i> B </i>, есть окружность.

Показать, что если  <i>a > b</i> > 0,  то разность между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел находится между   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109015/problem_109015_img_2.gif">   и   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109015/problem_109015_img_3.gif">