Олимпиадная задача: заполнить таблицу числами в геометрической прогрессии
Задача
В приведённой таблице заполнить все клетки так, чтобы числа в каждом столбце и каждой строке составили геометрическую прогрессию.
Решение
Обозначим знаменатель прогрессии, записанной в первой строке, через q–1, тогда в первой строке стоят числа 6q–2, 6q–1, 6, 6q. Отсюда находятся знаменатели прогрессий в первом, втором и четвёртом столбцах, это соответственно 12q², 2·(3q)1/3 и 3/2·(3q–1)1/2.
Поэтому второе число второго столбца равно 12·(3q–2)1/3, следовательно, знаменатель прогрессии во второй строке равен 1/6·(3q–2)1/3. Отсюда следует, что второе число четвёртого столбца равно 72·(1/6 (3q–2)1/3)³ = q–2.
Но, с другой стороны, оно равно 6q·3/2·(3q–1)1/2 = 9·(3q)1/2. Отсюда q–4 = 35q, то есть q = ⅓, и вся таблица восстанавливается однозначно.
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь