Олимпиадная задача по алгебре: три числа и их среднее в группах целых чисел

  Будем разбивать натуральные числа, начиная с 1, на два класса: I и II, причём будем стараться, чтобы ни один класс не содержал вместе с двумя числами их среднее арифметическое. Поскольку  ½ (a + c) = b  ⇔ c = 2b – a,  то если, например, a и b отнесены в класс I, то число  2b – a  должно быть отнесено в класс II. Не нарушая общности, положим  1 ∈ I.  Возможны два случая.

  1)  2 ∈ I.  Тогда  3 ∈ II.  Возможны два подслучая.

  1а)  4 ∈ I.

  Тогда  2·4 – 2 = 6 ∈ II  и  2·4 – 1 = 7 ∈ II,  следовательно,  5 ∈ I  и  8 ∈ I,  так как иначе класс II содержал бы три последовательных натуральных числа. Если  9 ∈ I,  то 5 будет полусуммой 1 и 9, а если  9 ∈ II,  то 6 будет полусуммой 3 и 9.   1б)  4 ∈ II.  Тогда  5 ∈ I,  2·5 – 2 = 9 ∈ II,  2·5 – 2 = 8 ∈ II,  следовательно,  7 ∈ I.  Если  6 ∈ I,  то 6 будет полусуммой 5 и 7, а если  6 ∈ II,  то 6 будет полусуммой 4 и 8.   2)  2 ∈ II.  Возможны три подслучая.   2а)  3 ∈ I,  4 ∈ I.  Тогда  5 ∈ II,  2·4 – 1 = 7 ∈ II,  следовательно,  6 ∈ I;  поэтому  2·6 – 4 = 8 ∈ II.  Если  9 ∈ I,  то 6 будет полусуммой 3 и 9, а если  9 ∈ II,  то 8 будет полусуммой 7 и 9.   2б)  3 ∈ I,  4 ∈ II.  Тогда  2·3 – 1 = 5 ∈ II,  следовательно,  6 ∈ I,  2·5 – 2 = 8 ∈ I,  а отсюда  7 ∈ II.  Если  9 ∈ I,  то 6 будет полусуммой 3 и 9, а если  9 ∈ II,  то 7 будет полусуммой 5 и 9.   2в)  3 ∈ II.  Тогда  4 ∈ I,  2·4 – 1 = 7 ∈ II,  (3 + 7) : 2 = 5 ∈ I,  следовательно,  6 ∈ II,  а  8 ∈I.  Если  9 ∈ I,  то 5 будет полусуммой 1 и 9, а если  9 ∈ II,  то 6 будет полусуммой 3 и 9.

Ответ задачи отсутствует