Олимпиадная задача по теории чисел: число A с перестановкой цифры 6
Задача
Найти наименьшее натуральное число A, удовлетворяющее следующим условиям:
а) его запись оканчивается цифрой 6;
б) при перестановке цифры 6 из конца числа в его начало оно увеличивается в четыре раза.
Решение
Решение 1: Искомое число запишем в виде A = x1...xk6. Тогда 4A = 6x1...xk. Для определения цифр числа 4A будем последовательно умножать число A на 4:
6·4 = 24. Значит, xk = 4, 4xk + 2 = 4·4 + 2 = 18; xk–1 = 8, 4xk–1 + 1 = 4·8 + 1 = 33; xk–2 = 3, 4xk–2 + 3 = 4·3 + 3 = 15; xk–3 = 5, 4xk–3 + 1 = 4·5 + 1 = 21; xk–4 = 1, 4xk–4 + 2 = 4·1 + 2 = 6; xk–5 = 6.
На этом процесс вычисления заканчивается, так как впереди будет стоять цифра 6: 4A = 615384, A = 153846.
Решение 2:1/10 (A – 6) + 6·10k = 4A, или 39A = 6·10k+1 – 6, откуда A = 59...94 : 39. Число A находим непосредственным делением, снося девятку до тех пор, пока не получится остаток 23, так как 234 при делении на 39 даёт цифру 6.
Ответ
A = 153846..
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь