Олимпиадная задача по планиметрии: касательные, диаметр и окружность (8-9 класс)
Задача
MA и MB – касательные к окружности O,; C – точка внутри окружности, лежащая на дуге AB с центром в точке M . Доказать, что отличные от A и B точки пересечения прямых AC и BC с окружностью O лежат на противоположных концах одного диаметра.
Решение
Для доказательства соединим точку M с точкой C , а центр
окружности O – с точками A1 и B1 (рис.). Нужно доказать,
что A1OB1 – одна прямая. Треугольники AOA1 и BOB1 равнобедренные: OA1=OA и OB1=OB как радиусы одной окружности.
Обозначим углы при их основаниях: 
OAA1=
OA1A=α, OBB1= OB1B=β . Треугольники AMC и BMC тоже равнобедренные (по такой же причине), MAC=
MCA= OAM- OAA1=90o-α, MCB=
MBC=90o-β , так как MAO= MBO=90o как углы между
касательными и радиусами, проведенными к точке касания;
A1CB1= BCA как вертикальные; BCA= MCB+
MCA=90o-β+90o-α=180o-(α+β) . Поэтому три угла
фигуры A1CB1O в сумме дают 180o . OB1B+
OA1A+ A1CB1=β+α+180o-(α+β)=180o .
Следовательно, B1OA1 – одна прямая.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь